Kratica CAE (angl. Comupter Aided Engineering) pomeni računalniško podprto inženirstvo oziroma uporabo računalnika in s posebnih programov, s katerimi lahko praktično v realnem času preverimo obnašanje modela, ga analiziramo, simuliramo, spreminjamo in ponovno preverimo. Tako lahko inženirji prve slike prototipov delijo svojim sodelavcem, zaposlenim v marketingu, investitorjem in z drugimi sodelavci kjerkoli po svetu.
Značilen moderen pristop večine inženirjev k snovanju novega izdelka je, da se ga lotijo z najsodobnejšimi tehnologijami in zasnovami. Vendar pa moramo že na stopnji načrtovanja in snovanja novih izdelkov razmišljati tudi o konkurenčni ceni izdelka in s tem vnaprej oceniti, katera od zasnov izdelka bo z vidika kakovosti, uporabnosti, zmogljivosti in končno tudi stroškov najprimernejša.
Tako imamo možnost, da se odločimo, ali bomo uporabljali klasične analitične pristope, torej ročne, ki so tudi cenejši, vendar bomo potrebovali za snovanje, analiziranje, prototipiranje več časa, ali pa sodobne pristope, kot sta tehnika modeliranja, analiziranja in simuliranja. Vse to pa lahko opravimo z računalnikom in s posebnimi programi, s katerimi lahko praktično v realnem času preverimo obnašanje modela, ga analiziramo, simuliramo, spreminjamo in ponovno preverimo. Tako lahko inženirji prve slike prototipov delijo svojim sodelavcem, zaposlenim v marketingu, investitorjem in z drugimi sodelavci kjerkoli po svetu.
Hitri in zmogljivi računalniki ter razvoj programske opreme omogočajo strokovnjakom pri razvoju izdelkov izvajanje simulacij z uporabo zelo učinkovitih numeričnih metod, kot je na primer metoda končnih elementov, mehanike fluidov, dinamike večtelesnih sistemov in optimizacije.
Analiza sistemov in njihova simulacija na računalnikih vse bolj dopolnjujeta tradicionalne poskuse v laboratoriju na vseh področjih. Tako lahko s pomočjo analiz in simulacij natančno predvidimo obnašanje in delovanje neke naprave, drago tehnologijo izdelave pa uporabimo samo za različico, ki se je pri tem postopku pokazala za optimalno. S tem prihranimo čas in denar. Po drugi strani se lahko z računalniško simulacijo lotimo sicer neizvedljivih poskusov. Tako lahko simuliramo, na primer galaksije, dogajanja na nivoju atomov in sistemih, ki v fizičnem svetu ne morejo obstajati, poskuse, neprimerne za izvedbo, kot so npr. poskusi na ljudeh.
V večini primerov gre za zapletene pojave, ki jih lahko analiziramo in simuliramo le z nekaterimi poenostavitvami. Seveda pa se pri interpretaciji rezultatov zato vedno treba zavedati omejitev takšne simulacije in analiz. Takšni računalniški poskusi so pa povsem ponovljivi, kar omogoča nadzorovano spreminjanje posameznega parametra.
Analize in simulacije se rutinsko uporabljajo na mnogih področjih. Nekaj takih primerov, kjer uspešno nadomeščajo dražje, časovno potratnejše in včasih nevarne poskuse je navedeno v nadaljevanju, in sicer:
- aerodinamični poskusi v vetrovniku,
- ohlajanje polizdelkov po oblikovanju (valjanju, vlečenju …) v kovinski industriji,
- poskusne jedrske eksplozije,
- kemijski procesi v farmacevtski industriji,
- simulacije vremenskih vzorcev na Zemlji,
- širjenje panike v množici ljudi itd.
Vse te analize in simulacije uporabljajo različne numerične metode, med katerimi je tudi metoda končnih elementov, s katerimi lahko izvajamo poskuse, ki so zelo blizu realnim pogojem. V svetu obstaja veliko programskih rešitev za računalniško podprto oblikovanje (CAD) in računalniško podprtega inženirstva (CAE), načrtovanje izdelave (CAM) in upravljanje z življenjskim ciklusom izdelka (PLM), ki skrajšajo čas, potreben za izdelavo izdelka in njegov prihod na trg, zmanjšajo stroške, izboljšajo pa tudi sodelovanje med skupinami strokovnjakov in s tem pripomorejo k večji produktivnosti podjetja.
Metoda končnih elementov
Metoda končnih elementov (MKE) izhaja iz potreb za reševanje zapletenih problemov o prožnosti (elastičnosti), strukturni analizi v gradbeništvu in letalski industriji. Njenemu razvoju lahko sledimo do del Alexandra Hrennikoffa (1941) in Richarda Couranta (1942). Čeprav se njuna pristopa precej razlikujeta, imata skupno lastnost: mrežno diskretizacijo zveznega območja na množico diskretnih podpodročij, po navadi imenovanih elementi.
Hrennikoffov je diskretitziral območje s pomočjo analogije z rešetko, Courant pa je razdelil območje v končna trikotniška podpodročja za rešitev eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb (PDE) 2. stopnje, ki izhajajo iz problema o vzvoju (torziji) valja. Courantov pristop je bil velik korak predhodnim raziskavam razvoja PDE lorda Rayleigha, Ritza in Galjorkina.
Razvoj metode končnih elementov se je začel v poznih 1950-tih za letalska ogrodja (družbe Boeing) in strukturno analizo, ter dobil zagon na Univerzi v Stuttgartu prek dela Johna Argyrisa in na Univerzi Kalifornije v Berkeleyju z delom Rayja Clougha v 1960-tih pri gradbeniških problemih. Do poznih 1950-tih so razvili glavne poteze trdnostne matrike in sestavo elementov do takšne oblike, ki se uporablja danes.
Ameriška vesoljska agencija (NASA) je leta 1965 podala željo za predloge razvoja programa NASTRAN. Strogo matematično osnovo za metodo sta leta 1973 pripravila matematika Strang in Fix v svojem delu Analiza metode končnih elementov (An Analysis of The Finite Element Method). Metodo so od tedaj posplošili na področja uporabne matematike za numerično modeliranje fizikalnih sistemov v različnih področjih tehnike, na primer: v elektrodinamiki, dinamiki tekočin, teoriji preoblikovanja ipd.
Na začetku razvoja metode končnih elementov je njeno uporabo omejevala relativno velika količina potrebnih numeričnih operacij. Z razvojem računalniške opreme pa je ta težava odpadla.
Metoda končnih elementov je splošna numerična metoda in jo uporabljamo za reševanje problemov na mnogih področjih tehnike, fizike, matematike …, vendar se bomo v našem primeru usmerili na njihovo uporabo pri analizah konstrukcij, kjer lahko z njo brez težav obravnavamo komplicirane sklope konstrukcijskih elementov. Pomembna lastnost metode končnih elementov je prilagodljivost robnim pogojem v geometrijskem in matematičnem smislu.
Mehaniko konstrukcij delimo na mehaniko linijskih konstrukcij (enodimenzionalni elementi), ploskovnih konstrukcij (dvodimenzionalni elementi) in mehaniko teles (tridimenzionalne konstrukcije). Metoda končnih elementov je splošna in enaka za vse tri tipe konstrukcij, kar omogoča kombiniranje zgoraj naštetih tipov konstrukcij pri postavljanju problema z metodo končni elementov.
Pri reševanju problemov z uporabo metode končnih elementov konstrukcijo razdelimo (diskretiziramo, mrežimo) na določeno število končnih elementov, ki so med seboj povezani v vozliščih in tvorijo konstrukcijo. Za linijske konstrukcije so to nosilci ali deli nosilcev, za ploskovne trikotniki, štirikotniki in za prostorske konstrukcije tetraedri, heksaedri … Tako dobimo mrežo končnih elementov, ki skupaj z drugimi geometrijskimi podatki o elementih, o lastnostih materiala in o obremenitvi predstavlja računski model konstrukcije.
Tipični končni elementi in mreža končnih elementov
S pomočjo enačb elastomehanike poiščemo zveze med pomiki v vozliščih in v poljih elementov. Tako dobljeno enačbo imenujemo enačba končnega elementa, v katerih nastopajo kot neznanke pomiki v vozliščih. Vse enačbe končnih elementov združimo v enačbo konstrukcije, ki je sistem linearnih enačb. Enačbo konstrukcije rešimo ob upoštevanju robnih pogojev in obremenitev. S pomočjo rešitev sistema enačb (pomikov) izračunamo specifične deformacije in napetosti v vozliščih elementov. Opisano metodo imenujemo deformacijska metoda končnih elementov ali metoda pomikov. V primeru, da so neznanke v vozliščih sile, pa govorimo o metodi sil.
Med obema metodama se je bolj uveljavila metoda pomikov, njena prednost pa je v formulaciji postopka, ki se da poenotiti za katerokoli konstrukcijo, kar pa je pomembna prednost pri izdelavi računalniških programov za izračun po metodi končnih elementov.
Metodo končnih elementov lahko uporabljamo za reševanje splošnih problemov raznih domen, kot so preračun temperaturnih domen, analize tokov tekočin ali elektromagnetnega polja, v mehaniki deformabilnih teles pa za reševanje statičnih in dinamičnih problemov.
Pri reševanju enačb končnega elementa po metodi pomikov, so neznanke v vozliščih pomiki, ki jih zapišemo kot skupni vektor pomikov {u}, vozliščne točkovne sile pa zapišemo kot skupni vektor sil {F}, ki so povezane s pomiki {u} preko globalne togostne matrike [K].
V splošnem lahko zajema vektor vozliščnih pomikov pomike, zasuke in njihove odvode, vektor vozliščnih sil pa sile in momente. Zato govorimo o posplošenem (generaliziranem) vektorju vozliščnih pomikov in vozliščnih sil.
Togostno matriko sestavimo iz togostnih matrik elementov, ki se stikajo v vozliščih. V vsakem vozlišču seštejemo ustrezne togosti ob upoštevanju njihove vektorske narave, kar pomeni, da seštevamo ustrezne komponente. Izhodišče pa predstavljajo enačbe elementov, za katere moramo poznati togostne matrike.
Postopek računa po metodi končnih elementov
Pri praktičnem računanju po metodi končnih elementov le redkokdaj ne uporabljamo računalnika in ustreznega programa. Sam postopek pa je razdeljen v več faz:
- Izbira računskega modela.
- Priprava podatkov za ustrezen program.
- Računanje z računalniškim programom.
- Kontrola rezultatov.
Pri računanju peš je postopek malo drugačen (odpade priprava podatkov za program), vse faze pa opravi človek. Metodo končnih elementov uporabljamo peš le pri učenju te metode.